Question

（2011•宝坻区一模）设函数f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的值域；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角B的值．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再由x的范围，得出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，即可得到f（x）在区间[0，

π

2

]上的值域；
（2）由（1）得出的f（x）解析式及f（A）=

3

2

，得出sin（A+

π

3

）的值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，确定出sinA的值，再利用正弦定理利用关系式，将已知的等式a=

3

2

b及sinA的值代入，求出sinB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cos（x+

π

6

）
=sinx+cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

1

2

sinx+

3

2

cosx
=sin（x+

π

3

），
∵ω=1，∴T=2π，
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
则f（x）的值域为[

1

2

，1]；
（2）由（1）可知，f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，即sinB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变形，涉及的知识有：两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．