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    已知A,B分别是椭圆C1:+=1的左、右顶点,P是椭圆上异于A,B的任意一点,Q是双曲线C2:-=1上异于A,B的任意一点,a>b>0.

    (1)若P（,）,Q（,1）,求椭圆C1的方程;

    (2)记直线AP,BP,AQ,BQ的斜率分别是k1,k2,k3,k4,求证:k1·k2+k3·k4为定值.

     

    【答案】

    （1）+=1 （2）见解析

    【解析】

    (1)解:由解得

    ∴椭圆C1的方程为+=1.

    (2)证明:由题意知A(-a,0),B(a,0),

    设P(x1,y1),(x1≠±a)则+=1,

    ∴=b2（1-）=(a2-).

    设Q(x2,y2),(x2≠±a),则-=1,

    ∴=b2（-1）=(-a2).

    ∴k1=,k2=,k3=,k3=.

    ∴k1·k2+k3·k4=+

    =+

    =0.

    即k1k2+k3k4为定值,定值是0.

     

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    过椭圆的右焦点.

    (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;

    (2)设A,B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在

    抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？

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    （不必具体求出这些点的坐标）.

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