Question

12．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由函数的导数的几何意义可知：则渐近线的斜率为k=$\frac{a}{b}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，则$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，即可求得b=2a，双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．

解答 解：由函数y=lnx+ln2+1，（x＞0），求导y′=$\frac{1}{x}$，设渐近线与函数的切点为P（x₀，y₀），
则渐近线的斜率为k=$\frac{b}{a}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴$\frac{ln{x}_{0}+ln2+1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，解得：x₀=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，b=2a，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故选D．

点评 本题考查导数的几何意义及双曲线的简单几何性质，考查直线的斜率公式，属于基础题．