Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA⊥PC，底面ABCD为菱形，G为PC中点，E、F分别为AB、PB上一点，△BCE的面积为6$\sqrt{3}，AB=4AE=4\sqrt{2}，AC=4\sqrt{6}$，PB=4PF．
（1）求证：AC⊥DF；
（2）求证：EF∥平面BDG；
（3）求三棱锥B-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明AC⊥平面PBD，然后证明AC⊥DF．
（2）设AC与BD的交点为O，连接OG，证明EF∥OG，推出EF∥平面BDG．
（3）设PD=m，求出F到平面ABCD的距离，求出△BCE的面积，利用等体积法求解即可．

解答 （1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC…（1分）
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，…（2分）
∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，…（3分）
又DF?平面PBD，∴AC⊥DF…（4分）
（2）证明：∵AB=4AE，PB=4PF，∴EF∥PA，…（5分）
设AC与BD的交点为O，连接OG，∵ABCD为菱形，
∴O为AC中点，又G为PC中点，∴OG∥PA，…（7分）
∴EF∥OG，又EF?平面BDG，OG?平面BDG，∴EF∥平面BDG…（8分）
（3）解：
设PD=m，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD，…（9分）
又$AD=CD=4\sqrt{2}$，
∴$PA=PC=\sqrt{{m^2}+32}$，
∵PA⊥PC，∴2（m²+32）=16×6，∴m=4…（10分）
∵PB=4PF，∴F到平面ABCD的距离为$h=\frac{3}{4}PD=3$…（11分）
∵△BCE的面积为$S=6\sqrt{3}$，
∴${V_{B-CEF}}={V_{F-BCE}}=\frac{1}{3}×S×h=\frac{1}{3}×6\sqrt{3}×3=6\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，仔细与平面平行于垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力．