Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过F₂的直线l交C于A，B两点，若△AF₁B的周长为4$\sqrt{3}$，则C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为2x+3y-5=0．

Answer 1

分析 （1）已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解得a，b，
（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出结果．

解答 解：由已知得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，∴C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
 设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程得再相减可得
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴4（x₁-x₂）+6（y₁-y₂）=0，k=-$\frac{2}{3}$．
这条弦所在的直线方程为：2x+3y-5=0
故答案为：：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，2x+3y-5=0

点评 本题考查了椭圆的方程，即点差法处理中点弦问题，属于中档题．