Question

1．已知F₁、F₂是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，则椭圆的离心率$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

Answer 1

分析 由已知结合椭圆定义求得|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，又∠PF₁F₂=30°，在△F₁PF₂中，由余弦定理列式求得椭圆的离心率．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，且|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|=$\frac{4}{3}a$，|PF₂|=$\frac{2a}{3}$，又∠PF₁F₂=30°，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得：$（\frac{2a}{3}）^{2}=（\frac{4a}{3}）^{2}+4{c}^{2}-2•\frac{4a}{3}•4c•cos30°$，
整理得：$3{c}^{2}-4\sqrt{3}ac+{a}^{2}=0$，即$3{e}^{2}-4\sqrt{3}e+1=0$．
解得：$e=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$（舍），或$e=\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．