Question

已知（

3	y

+

1

x

）⁵的展开式的第3项为10，
（1）求y=f（x）的解析式及定义域；
（2）若不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二项式系数的性质

专题：函数的性质及应用,二项式定理

分析：（1）通过已知条件列出关系式，即可求y=f（x）的解析式及定义域；
（2）利用（1）化简不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1），然后变换主元，即可对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的范围．

解答： 解：（1）∵（

3	y

+

1

x

）⁵的展开式的第3项为

C

2 5

•(

3	y

)3•(

1

x

)2=10，
即10y•

1

x

=10，即 y=x，故函数的解析式为 f（x）=x，且定义域为{x|x＞0}．
（2）∵不等式2f（x）-1＞m（f²（x）-1），即 2x-1＞m（x²-1），且x＞0．
即 m（x²-1）-2x+1＜0，满足-2≤m≤2的所有m都成立．
令g（m）=m（x²-1）-2x+1，
∴

g(-2)≤0 g(2)≤0 x＞0

，即

-2x2-2x+3≤0 2x2-2x-1≤0 x＞0

，解得：

7 -1

2

≤x≤

1+ 3

2

，
x的范围{x|

7 -1

2

≤x≤

1+ 3

2

}．

点评：本题考查函数的恒成立问题，二项式定理的应用，考查转化思想以及计算能力．