Question

已知线性约束条件

x-y+1≤0 x≥1 ax+y≤2(a∈R)

构成一个三角形区域D，且线性目标函数z=2x+3y在D内取得最大值13，则实数a的值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：约束条件中不等式ax+y≤2对应的直线恒过定点（0，2），结合前两个不等式可知a＜0，作出三角形区域D的大致形状，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可知当直线y=-

2

3

x+

z

3

过区域内点B时直线在y轴上的截距最大，联立方程组求出点B的坐标，代入目标函数，由最大值为13列式求得a的值．

解答： 解：由约束条件作出可行域如图，

联立

x-y+1=0 ax+y=2

，解得：

x= 1 a+1 y= a+2 a+1

．
∴B（

1

a+1

，

a+2

a+1

）．
由z=2x+3y，得y=-

2

3

x+

z

3

．
由图可知，当直线y=-

2

3

x+

z

3

过点B时直线在y轴上的截距最大．
则z=

2

a+1

+

3a+6

a+1

=

3a+8

a+1

=13，解得：a=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

．

点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．