Question

已知函数f（x）在定义域R上的值不全为零，若函数f（x+1）的图象关于（1，0）对称，函数f（x+3）的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（　　）

• A、f（-x）=f（x）
• B、f（x-2）=f（x+6）
• C、f（-2+x）+f（-2-x）=0
• D、f（3+x）+f（3-x）=0

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：由已知条件求得f（4-x）=-f（x） …①、f（x+4）=f（4-x） …②、f（x+8）=f（x） …③．再利用这3个结论检验各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：∵函数f（x+1）的图象关于（1，0）对称，
∴函数f（x）的图象关于（2，0）对称，
令F（x）=f（x+1），则F（x）=-F（2-x），
故有 f（3-x）=-f（x+1），f（4-x）=-f（x） …①．
令G（x）=f（3-x），
∵其图象关于直线x=1对称，∴G（2+x）=G（-x），
即f（x+5）=f（3-x），
∴f（x+4）=f（4-x）  …②．
由①②得，f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=f（x）  …③．
∴f（-x）=f（8-x）=f（4+4-x），
由②得 f[4+（4-x）]=f[4-（4-x）]=f（x），
∴f（-x）=f（x），∴A对．
由③得 f（x-2+8）=f（x-2），即 f（x-2）=f（x+6），∴B对．
由①得，f（2-x）+f（2+x）=0，又f（-x）=f（x），
∴f（-2-x）+f（-2+x）=f（2-x）+f（2+x）=0，∴C对．
若f（x+3）+f（3-x）=0，则f（6+x）=-f（x），∴f（12+x）=f（x），
由③可得f（12+x）=f（4+x），又f（x+4）=-f（x），∴f（x）=-f（x），∴f（x）=0，与题意矛盾，∴D错，
故选：D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性的应用，函数的图象及图象变换．