Question

下列命题：
①△ABC中，若

AB

•

BC

＜0，则△ABC是钝角三角形；
②已知O为△ABC所在平面内一点，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

，则

OA

和

OC

在向量

OB

方向上的投影必相等；
③已知O为△ABC所在平面内一点，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

=

OA

•

OC

且

OA

+

OB

-m

OC

=

0

（m∈R），则△ABC是等边三角形；
④已知O为△ABC内一点，若

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，则S_△AOC：S_△ABC=1：3；
⑤若△ABC面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，且

AD

=λ

AB

，

DF

=λ

DE

，则△BDF面积的最大值是

1

8

．
期中正确的命题序号为

 

（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用,简易逻辑

分析：根据

AB

•

BC

的夹角为B的补角，结合向量数量积的定义，可判断①；
展开向量数量积公式由向量数量积的几何意义判断②；
把已知向量等式变形得到O为三角形垂心，再由

OA

+

OB

-m

OC

=

0

说明O在角A的角分线上判断③；
通过作图求解判断④；
把△BDF面积转化为含λ的代数式，然后利用不等式求最值判断⑤．

解答： 解：①△ABC中，若

AB

•

BC

＜0，则B为锐角，此时△ABC的形状不能确定，故①错误；
②已知O为△ABC所在平面内一点，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

，
则|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=|

OC

|•|

OB

|•cos∠BOC，
即|

OA

|•cos∠AOB=|

OC

|•cos∠BOC，即

OA

和

OC

在向量

OB

方向上的投影相等，故②正确；
③已知O为△ABC所在平面内一点，若

OA

•

OB

=

OC

•

OB

=

OA

•

OC

，则O为△ABC垂心（即三条高的交点），
若

OA

+

OB

-m

OC

=

0

（m∈R），则O点在角C角平分线上，则△ABC是等腰三角形，但不一定等边，故③错误；
④过A点作OB的平行线，在平行线上取线段AD，使得AD=2OB，延长OB至E使得BE=OB，
如图，

∵AD平行且等于OE，四边形ADEO为平行四边形，

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，
对角线

OD

=

OA

+

AD

=

OA

+

OE

=

OA

+2

OB

=-3

OC

，
∴三角形AOD的面积是三角形AOC面积的三倍，
设三角形AOC面积为X，则三角形AOD的面积为3X，
∵AD平行于OB，且AD=2OB，设CD与AB相交于F点，则有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
∴三角形AOF的面积为X，三角形ACF的面积为2X，
∵AF：FB=2：1，
∴三角形CFB面积为X，故三角形ABC总面积为3X．
则S_△AOC：S_△ABC=1：3，故④正确；
⑤∵△ABC的面积为1，D是边AB上任意一点，E是边AC的中点，F是线段DE上的一点，

AD

=λ

AB

，

DF

=λ

DE

，如图，

分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h₁，AN=h₂
则

S△ADE

S△ABC

=

1 2 AD•AEsinA

1 2 AB•ACsinA

=

1

2

λ．
∴S_△ADE=

1

2

λ•S_△ABC=

1

2

λ．
∵△DMB∽△DNA
∴

h1

h2

=

1-λ

λ

．
从而有

S△DBF

S△ADE

=

1 2 DF•h1

1 2 DE•h2

=λ•

1-λ

λ

=1-λ．
∴S△DBF=(1-λ)•

1

2

λ≤

1

2

•(

1-λ+λ

2

)2=

1

8

．
当且仅当λ=

1

2

时取等号．则△BDF面积的最大值是

1

8

．
命题⑤正确．
∴正确命题的序号是②④⑤．
故答案为：②④⑤．

点评：本题考查了平面向量在解三角形中的应用，考查了数形结合的解题思想方法，训练了学生灵活运用向量处理问题和解决问题的能力，是难度较大的题目．