Question

已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD^ 平面ABCD，PD=8，

（1）连接PB、AC，证明：PB ^ AC；

（2）连接PA，求PA与平面PBD所成的角的正弦值；

（3）求点D到平面PAC的距离.

Answer 1

（1）证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC ^ BD，

       又PD^平面ABCD，所以，PD^AC，………………………………………………2分

       所以AC ^平面PBD，故PB ^ AC.…………………………………………………4分

（2）解析：因为AC ^平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则ÐAPO就是PA与平面PBD所成的角，……………………………6分

       在DAPO中，AO=3，AP = 10

       所以 sin ÐAPO =

       ÐAPO=arcsin…………………………8分

       PA与平面PBD所成的角的大小为arcsin……………………………………9分

 （3）解析：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，……………………………10分

       则有V_DPAC =V_PACD，即：´ S_DPAC ´ h =´PD´AD´DC………………………12分

       在DPAC中，显然PO^AC，PO=

       h =

       所以点D到平面PAC的距离为……………………………………14分