Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围；
（Ⅲ）若a1=

1

2

，判别方程S_n+T_n=55是否有解？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₄=2S₂+4，可求得公差d的值；
（Ⅱ）依题意，等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，须

a8≤0 a9≥0

，从而可求a₁的取值范围；
（Ⅲ）由题意可求得b₁=

1

3

，q=

1

3

，从而求得T_n，由等差数列的求和公式求得S_n，再结合S_n+T_n=55即可分析得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+

3×4

2

d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必须有

a8≤0 a9≥0

，即

a1+7d≤0 a1+8d≥0

．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{b_n}满足b2=

1

9

，T2=

4

9

，即

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

，解得b₁=

1

3

，q=

1

3

，
∴Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，又S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=

1

2

n²，…2
则方程S_n+T_n=55转化为：n²+[1-(

1

3

)n]=110．
令：f（n）=n²+1-(

1

3

)n，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1-(

1

3

)n]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥11²+[1-(

1

3

)11]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55无解．…3

点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等差数列与等比数列的求和，突出考查转化思想与方程思想、分类讨论思想的应用，属于难题．