Question

设函数f(x)=

a

3

x3-

3

2

x2+(a+1)x+1，其中a为实数．
（Ⅰ）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞2x²-x-a+1对x∈[0，1]都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=ax²-3x+（a+1），
由于函数f（x）在x=1时取得极值，
所以f′（1）=0，即a-3+a+1=0，
∴a=1．
（Ⅱ）由题设知：ax²-3x+（a+1）＞x²-x-a+1，对任意x∈[0，1]都成立，
即（a-1）x²-2x+2a＞0对任意x∈[0，1]都成立，
令g（x）=（a-1）x²-2x+2a，
①当a=1时，由g（x）＞0解得x＜1，显然x=1时不成立，故a≠1；
②当a-1＜0，即a＜1时，g（x）=（a-1）x²-2x+2a开口向下，g（x）的对称轴为x=-

-2

2(a-1)

=

1

a-1

＜0，
∴g（x）=（a-1）x²-2x+2a在[0，1]上单调递减，
∴g（x）＞0?g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，与a＜1矛盾，故a＜1不符合题意；
③当a-1＞0，即a＞1时，g（x）=（a-1）x²-2x+2a开口向上，g（x）的对称轴为x=-

-2

2(a-1)

=

1

a-1

＞0，
若0＜

1

a-1

≤1，即a≥2时，g（x）_min=g（

1

a-1

）=2a-

1

a-1

＞0?a＞

1+ 3

2

或a＜

1- 3

2

，
∴a≥2；
若

1

a-1

＞1，即

2-a

a-1

＞0?1＜a＜2时，g（x）=（a-1）x²-2x+2a开口向上，
∴g（x）＞0?g（1）=（a-1）-2+2a＞0，解得a＞1，又1＜a＜2，
∴1＜a＜2．
综上所述，a＞1．