Question

14．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）求证：平面A₁C₁D∥平面ACB₁：
（2）求证：平面ACB₁⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

分析 （1）证明A₁C₁∥平面ACB₁，同理，C₁D∥平面ACB₁，即可得出平面A₁C₁D∥平面ACB₁；
（2）利用正方体的性质、线面与面面垂直的判定与性质定理即可得出．

解答 证明：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∴AC∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面ACB₁，AC?平面ACB₁，
∴A₁C₁∥平面ACB₁，
同理，C₁D∥平面ACB₁，
∵A₁C₁∩C₁D=C₁，
∴平面A₁C₁D∥平面ACB₁；
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
又∵BB₁⊥平面AC，AC∈平面AC，
∴BB₁⊥AC，
且BB₁∩BD=B，∴AC⊥平面B₁D₁BD，
又AC∈平面ACB₁，
∴平面ACB₁⊥平面B₁D₁BD

点评 本题考查了正方体的性质、线面，面面平行垂直的判定与性质定理，考查了推理能力，属于中档题．