Question

4．已知集合A={x|x=m+n$\sqrt{2}$，m∈Z，N∈Z}
（1）证明：任何整数都是A的元素．
（2）设x₁，x₂∈A，求证：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 （1）分当n≠0和当n=0两种情况，利用A中元素的形态分别讨论即可．
（2）若x₁、x₂∈M，则x₁=a+$\sqrt{2}$b，x₂ =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，分别计算x₁•x₂ 的形态，从而确定与集合A的关系．

解答 证明：（1）∵A={x|x=m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z}，
∴当n≠0时，x为无理数，
当n=0时，x为整数，
∴任何整数都是A的元素．
（2）若x₁、x₂∈A，则x₁=a+$\sqrt{2}$b，x₂ =c+$\sqrt{2}$d，且a、b、c、d∈Z，
根据 x₁x₂ =ac+2bd+（ad+bc）$\sqrt{2}$，仍是m+$\sqrt{2}$n，m、n∈Z的形式，
故x₁x₂ 属于集合A．

点评 本题主要考查元素与集合的关系的判定，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．