Question

10、若函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），且当x≠1时其导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，若1＜a＜2，则（　　）

A、f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）

B、f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）

C、f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）

D、f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

分析：根据f（x）=f（2-x）得函数的对称轴为x=1．所以f（0）=f（2）．因为1＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．又因为导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，所以当x＞1时f（x）为增函数，当x＜1时f（x）是减函数．进而利用函数的单调性比较函数值的大小即可．

解答：解：因为函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（2-x），
所以函数的对称轴为x=1．所以f（0）=f（2）．
因为1＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．
又因为导函数f′（x）满足（x-1）f′（x）＞0，
所以当x＞1时f（x）为增函数，当x＜1时f（x）是减函数．
所以f（0）＞f（log₂a），f（2^a）＞f（2）．
所以f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）．
故选A．

点评：本题主要考查函数的性质，解决此类问题的关键是先根据导数判断出函数的单调性结合题中所给的对称轴即可比较函数值的大小，函数的性质及其性质的应用通常是高考考查的热点．