Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F和椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点，点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为点D、E．
（Ⅰ）求抛物线C的过程；
（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且

MA

=m

AF

，

MB

=n

BF

，对任意的直线l，m+n是否为定值？若是，求出m+n的值，否则，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的右焦点F（1，0），知

p

2

=1，p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) y2=4x

?k2x2-2(k2+2)x+k2=0，再由根的判别式和韦达定理能推导出对任意的直线l，m+n为定值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴

p

2

=1，p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x（3分）
（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：y=k（x-1），l与y轴交于M（0，-k），设直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) y2=4x

?k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴△=4（k²+2）²-4k⁴=16（k²+1）＞0
∴x1+x2=

2k2+4

k2

，x1•x2=1（7分）
又由

MA

=m

AF

，∴（x₁，y₁+k）=m（1-x₁，-y₁），∴x₁=m（1-x₁），
即m=

x1

1-x1

，同理n=

x2

1-x2

，（9分）
∴m+n=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-1
所以，对任意的直线l，m+n为定值-1（12分）

点评：本题考查抛物线方程的求法和判断m+n是否为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．