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    【题目】如图，已知在Rt△ABC中，，，，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边BA上，D、G分别在边BC、CA上，设△ABC的面积为，正方形DEFG的面积为.

    （1）试用、分别表示和；

    （2）设，求的最大值，并求出此时的.

    【答案】（1），；（2），.

    【解析】

    （1）在直角三角形中，利用，，表示出，从而表示出，在直角三角形和中，分别表示出和，从而表示出正方形的边长，表示出；（2）利用三角恒等变形以及三角函数的性质和基本不等式，计算出的最大值.

    （1）在直角三角形中，


    ，，，

    所以，

    则的面积

    在直角三角形和中

    ，，

    正方形，所以，

    所以，即，

    所以，其中

    （2）根据题意，可得，其中

    令，

    所以

    因为，在上单调递减，

    所以，

    所以

    当且仅当，即，时，等号成立.

    所以的最大值为，此时.

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    （1）证明：平面；

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