Question

【题目】如图，已知直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且.

（1）证明：平面；

（2）求二面角余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明出，可得出，即有，再证明出平面，可得出，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角余弦值的大小.

（1）由题意知，等腰直角三角形中，中线，且，

在直三棱柱中，底面，

、平面，从而知，，

一方面，在中，因为，，则.

由，可得，从而可知，又，

则得，由此可得，即有.

另一方面，由，，，得平面，

又平面，则知.

综上，，且，又，故平面，得证之；

（2）由题意，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

且有、、、、，

从而有、、，

由，可得，

记为平面的一个法向量，

则有，取，得.

又由（1）知平面，故可取为平面的一个法向量，那么可得.

因此，二面角余弦值的大小为.