Question

4．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数即可求y=f（x）的表达式；
（2）求函数的积分，根据积分即可y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）由${∫}_{-1}^{-t}$ （ x²+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（ x²+2x+1）dx，解方程即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2，
∴a=1，b=2．∴f（x）=x²+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式△=4-4c=0，即c=1．故f（x）=x²+2x+1．
（2）依题意f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴所求面积S=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}+x$）|${\;}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$．
（3）由题意可得${∫}_{-1}^{-t}$ （ x²+2x+1）dx=${∫}_{-t}^{0}$（ x²+2x+1）dx，
即 （$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-1}^{-t}$=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）${|}_{-t}^{0}$，
即-$\frac{1}{3}$ t³+t²-t+$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$ t³-t²+t，
∴2t³-6t²+6t-1=0，
即2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．