Question

已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），=t₁+t₂．
（1）求点M在第二或第三象限的充要条件；
（2）求证：当t₁=1时，不论t₂为何实数，A、B、M三点都共线；
（3）若t₁=a²，求当⊥且△ABM的面积为12时，a的值．

Answer 1

解：（1）=t₁+t₂=t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
当点M在第二或第三象限时，等价于，故所求的充要条件为t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）证明：当t₁=1时，由（1）知=（4t₂，4t₂+2）．
∵=-=（4，4），=-=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂，
∴不论t₂为何实数，A、B、M三点共线．
（3）当t₁=a²时，=（4t₂，4t₂+2a²）． 又∵=（4，4），⊥，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-a²，∴=（-a²，a²）．又∵||=4，
点M到直线AB：x-y+2=0的距离d==|a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴||•d=×4×|a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值为±2．
分析：（1）由条件求出点M的坐标，利用点M在第二或第三象限的充要条件为横坐标小于0，纵坐标不等于0，得到结果．
（2）由条件求出 的坐标，证明 等于一个实数与的乘积，即 ∥，即证明了A、B、M三点共线．
（3）先求出的坐标，用点到直线的距离公式求出点M到直线AB的距离，由三角形面积等于12解出a的值．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算法则，证明三点共线的方法，向量的模及点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，准确进行坐标运算，是解题的难点和关键．