【题目】选修4-5:不等式选讲
设函数.
(1)证明:;
(2)若不等式的解集是非空集,求的范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)直接计算,由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可;
(2),分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析: (1)证明:函数f(x)=|x﹣a|,a<0,
则f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|
=|x+|=|x|+≥2=2.
(2)f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0.
当x≤a时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则f(x)≥﹣a;
当a<x<时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣<f(x)<﹣a;
当x时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则f(x)≥﹣.则f(x)的值域为[﹣,+∞).
不等式f(x)+f(2x)<的解集非空,即为>﹣,解得,a>﹣1,由于a<0,
则a的取值范围是.
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【题目】椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,焦点到短轴端点的距离为2,离心率为.
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于, 两点且,是否存在以原点为圆心的定圆与直线相切?若存在求出定圆的方程;若不存在,请说明理由
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【题目】直三棱柱中, 分别是的中点, 且,
(1)证明: .
(2)棱上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在,说明点的位置,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数
(1)若函数的图象与x轴无交点,求a的取值范围;
(2) 若函数在[-1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(3)设函数,当时,若对任意的,总存在,使得,求b的取值范围.
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【题目】甲乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的8道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试,只有选中的4个题目均答对才能入选;
(Ⅰ)求甲恰有2个题目答对的概率及甲答对题目数的数学期望与方差。
(Ⅱ)求乙答对的题目数X的分布列。
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【题目】已知命题P:函数是增函数,命题Q:
(1)写出命题Q的否命题,并求出实数的取值范围,使得命题为真命题;
(2)如果是真命题,是假命题,求实数的取值范围.
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