设数列{an}是等差数列.且公差为d.若数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项.则称该数列是“封闭数列．(1)若a1=4.d=2.求证:该数列是“封闭数列 ,(2)试判断数列an=2n-7(n∈N*)是否是“封闭数列 .为什么?(3)设Sn是数列{an}的前n项和.若公差d=1.a1＞0.试问:是否存在这样的“封闭数列 .使(+-+)=,若存在.求{an}的通项� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设数列{a_n}（n=1，2，…）是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．
（1）若a₁=4，d=2，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列a_n=2n-7（n∈N^*）是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d=1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使

（

+…+

）=

；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）a_n=4+（n-1）•2=2n+2，对任意的m，n∈N^*，有a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，由此能够证明该数列是“封闭数列”．
（2）由a₁=-5，a₂=-3，知a₁+a₂=-8，令a_n=a₁+a₂=-8，所以2n-7=-8，n=-

，由此能够证明数列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封闭数列．
（3）由{a_n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N⁺，必存在p∈N⁺使a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1为整数，由此能够推导出a_n=n+1（n∈N⁺），该数列是“封闭数列”．
解答：解：（1）证明：a_n=4+（n-1）•2=2n+2，
对任意的m，n∈N^*，有
a_m+a_n=（2m+2）+（2n+2）=2（m+n+1）+2，
∵m+n+1∈N⁺，
于是，令p=m+n+1，
则有a_p=2p+2∈{a_n}．
∴该数列是“封闭数列”．
（2）∵a₁=-5，a₂=-3，
∴a₁+a₂=-8，
令a_n=a₁+a₂=-8，
∴2n-7=-8，n=-

，
所以数列a_n=2n-7（n∈N⁺）不是封闭数列．
（3）解：由{a_n}是“封闭数列”，
得：对任意m，n∈N⁺，
必存在p∈N⁺使
a₁+（n-1）+a₁+（m-1）=a₁+（p-1）成立，
于是有a₁=p-m-n+1为整数，
又∵a₁＞0，
∴a₁是正整数．
若a₁=1，则

，
所以

，
若a₁=2，则

，
所以

，
若a₁≥3，则

，
于是

，
所以

，
综上所述，a₁=2，
∴a_n=n+1（n∈N⁺），
显然，该数列是“封闭数列”．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

练习册系列答案

湘教考苑高中学业水平考试模拟试卷系列答案

金考卷初中毕业学业考试说明检测卷系列答案

数学中考模拟试题系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>