【题目】已知是方程
的两根, 数列
是公差为正的等差数列,数列
的前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列
的前
项和
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据数列为等差数列,且
是方程
的两根,利用韦达定理出关于首项
、公差
的方程组,解方程组可得
与
的值,从而可得数列
的通项公式,由
得
,两式相减,化简可得
是以
为公比的等比数列,根据等比数列的定义可写出
的通项公式;(2)由(1)可得
,利用错位相减法求和即可得数列
的前
项和
.
试题解析:(1)由.且
得
,
,
在中,令
得
当
时,T
=
,
两式相减得,
.
(2) ,
,
,
=2
=
.
【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前 项和,属于中档题.一般地,如果数列
是等差数列,
是等比数列,求数列
的前
项和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数列
的公比,然后作差求解, 在写出“
”与“
” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式.
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【题目】关于f(x)=4sin (x∈R),有下列命题
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos;
③y=f(x)图象关于对称;
④y=f(x)图象关于x=-对称.
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)。
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【题目】《最强大脑》是江苏卫视推出国内首档大型科学类真人秀电视节目,该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手,堪称脑力界的奥林匹克,某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛,A、B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分,假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5,且各局比赛结果相互独立.
(1)求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率;
(2)求比赛结束时B队得分X的分布列和期望.
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【题目】对于函数,若
,则称
为
的“不动点”;若
,则称
为
的“稳定点”.函数
的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
和
,即
,
.
()设函数
,求集合
和
.
()求证:
.
()设函数
,且
,求证:
.
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【题目】如图1,平面五边形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是边长为2的正三角形.现将△ADE沿AD折起,得到四棱锥E﹣ABCD(如图2),且DE⊥AB.
(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)在棱AE上是否存在点F,使得DF∥平面BCE?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求
的值域;
(2)当时,函数
的图象关于
对称,求函数
的对称轴.
(3)若图象上有一个最低点
,如果图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的
倍,然后向左平移1个单位可得
的图象,又知
的所有正根从小到大依次为
,且
,求
的解析式.
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【题目】如图1,四边形ABCD中AC⊥BD,CE=2AE=2BE=2DE=2,将四边形ABCD沿着BD折叠,得到图2所示的三棱锥A﹣BCD,其中AB⊥CD.
(1)证明:平面ACD⊥平面BAD;
(2)若F为CD中点,求二面角C﹣AB﹣F的余弦值.
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