Question

【题目】如图1，四边形ABCD中AC⊥BD，CE=2AE=2BE=2DE=2，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A﹣BCD，其中AB⊥CD．
（1）证明：平面ACD⊥平面BAD；
（2）若F为CD中点，求二面角C﹣AB﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（1）∵AE⊥BD，且BE=DE，∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB⊥AD，又AB⊥CD，且AD，CD平面ACD，AD∩CD=D，

∴AB⊥平面ACD，

又AB平面BAD，∴平面ACD⊥平面BAD．

（2）解：（2）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，

过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，

过A作平面BCD的垂线，垂足为G，根据对称性，G点在x轴上，

设AG=h，由题设知：

E（0，0，0），C（2，0，0），B（0，﹣1，0），D（0，1，0），

A（ ，0，h），F（1， ，0）， =（ ，1，h）， =（2，﹣1，0），

∵AB⊥CD，∴ =2 ﹣1=0，解得h= ，

∴A（ ）．

∵ =（ ）， =（1， ，0），

设平面ABF的法向量 =（a，b，c），

则 ，

令a=9，得 =（9，﹣6， ），

∵AD⊥AB，AD⊥AC，

∴2 =（1，﹣2， ）是平面ABC的一个法向量，

∴cos＜ ，2 ＞= = = ，

∵二面角C﹣AB﹣F是锐角，

∴二面角C﹣AB﹣F的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）地出AB⊥AD，AB⊥CD，且AD，由此能证明AB⊥平面ACD，从而得到平面ACD⊥平面BAD．（Ⅱ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB﹣F的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．