Question

【题目】（12分）已知函数f(x)对任意的实数m，n都有：f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，

且当x＞0时，有f(x)＞1.

(1)求f(0)．

(2)求证：f(x)在R上为增函数．

(3)若f(1)＝2，且关于x的不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＜3对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) f(0)＝1 (2)见解析 (3) (－∞，2－1)

【解析】

（1）利用赋值法，令，可得．（2）根据函数单调性的定义并结合所给的函数的性质可证明结论成立．（3）根据题意可将不等式化为，再由函数f(x)在R上为增函数可得x2-(a+1)x+3>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立，然后根据二次函数在所给区间上的最值的求法求出函数的最小值后可得所求．

(1)解令m=n=0,则f(0)=2f(0)-1,

∴f(0)=1.

(2)证明：设x1,x2∈R,且x1<x2,

则．

∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1,

∴，

∴f(x2)>f(x1)．

故f(x)在R上为增函数．

(3)解∵，

即，

∴，

∵f(1)=2,

∴.

又f(x)在R上为增函数,

∴．

∴对任意的x∈[1,+∞)恒成立.

令，

①当≤1,即a≤1时,函数在[1,+∞)上单调递增，

由,得a<3,

∴a≤1；

②当>1,即a>1时,由,得，

∴

综上可得实数a的取值范围为．