Question

【题目】已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2．

（1）若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围．

（2）设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）．

Answer 1

【答案】（1）a∈（1，]；（2）

【解析】

（1）由知，函数的对称轴为 ，函数在 上单调，只需即可求解 （2）化简函数，根据二次函数的对称轴，分 三种情况讨论，即可求出最小值.

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由于过点（0，4），

∴c=4．

由f（3﹣x）=f（x）得，a（3﹣x）2+b（3﹣x）+4=ax2+bx+4，即3a+b=0①

又f（1）=a+b+4=2

∴a=1，b=﹣3，

故f（x）=x2﹣3x+4，

则函数的单调递减区间为：（﹣∞，]

若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，

则a＜2a﹣1≤

解得：a∈（1，]；

（2）函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，

当t≤0时，h（x）在区间[0，1]上为增函数，当x=0时，h（x）取最小值，即g （t）=h（0）=4．

当0＜t＜1时，h（x）在区间[0，t]上为减函数，区间[t，1]上为增函数，当x=t时，h（x）取最小值，即g （t）=h（t）=4﹣t2．

当t≥1时，h（x）在区间[0，1]上为减函数，当x=1时，h（x）取最小值，即g （t）=h（1）=5﹣2t．