【题目】已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）
A. 0B. 
C. 0或D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．
①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，
如图，
取CD中点E，则
∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，
AE、BE是平面ABE内的相交直线
∴CD⊥平面ABE，结合AB平面ABE，可得AB⊥CD
此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，
检验：此时△ABE中，AE＝BE
，不满足AE+BE＞AB，
故此种情况舍去；
②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图
设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ
综上所述，得所求余弦值为
故选B.
学练快车道口算心算速算天天练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
，
.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若存在
，使得
，求实数
的取值范围；
（3）若
对于
恒成立，试问是否存在实数，使得
成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
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【题目】近年来，我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功，标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为
，去除推进剂后的火箭有效载荷质量为
，火箭的飞行速度为
，初始速度为
，已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：
，其中
是火箭发动机喷流相对火箭的速度，假设
，
，
，
是以
为底的自然对数，
，
.
（1）如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度
、第二宇宙速度
、第三宇宙速度
时，求的值（精确到小数点后面1位）.
（2）如果希望达到，但火箭起飞质量最大值为
，请问的最小值为多少（精确到小数点后面1位）？由此指出其实际意义.
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【题目】哈师大附中高三学年统计甲、乙两个班级一模数学分数(满分150分),每个班级20名同学,现有甲、乙两班本次考试数学分数如下列茎叶图所示:
(I)根据基叶图求甲、乙两班同学数学分数的中位数,并将乙班同学的分数的频率分布直方图填充完整；
(Ⅱ)根据基叶图比较在一模考试中，甲、乙两班同学数学分数的平均水平和分数的分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)
(Ⅲ)若规定分数在
的成绩为良好，分数在
的成绩为优秀，现从甲、乙两班成绩为优秀的同学中，按照各班成绩为优秀的同学人数占两班总的优秀人数的比例分层抽样,共选出12位同学参加数学提优培训，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率.
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【题目】新个税法于2019年1月1日进行实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在
地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中
.
（1）求
的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；（计算结果保留两位小数）
（2）若按照分层抽样从
，
中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在的概率.
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【题目】已知抛物线
与直线
交于
不同两点分别过点
、点
作抛物线
的切线，所得的两条切线相交于点
.
(Ⅰ)求证
为定值:
(Ⅱ)求
的面积的最小值及此时的直线
的方程.
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【题目】已知函数
（
，且
）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的单调增区间为
，单调减区间为
.（Ⅱ）当
时， 
；当
时， 
.
【解析】【试题分析】(I)利用
的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
（Ⅰ）
，
设
，则
.
∵
， 
，∴
在
上单调递增，
从而得
在
上单调递增，又∵
，
∴当
时， 
，当
时， 
，
因此， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
设
，
则
.
∵当
时， 
，∴
在
上单调递增.
又∵
，∴当
时， 
；当
时， 
.
①当
时， 
，即
，这时， 
；
②当
时， 
，即
，这时， 
.
综上， 
在
上的最大值为：当
时， 
；
当
时， 
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与
轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；
（ Ⅱ ） 设直线 与轴和
轴的交点分别为
，
为圆上的任意一点，求
的取值范围.
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