Question

(12分)如图所示，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm时，试回答下列问题：

(1)求DH的长；
(2)求这个几何体的体积；
(3)截面四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．

Answer 1

解：(1)过E作EB₁⊥BF，垂足为B₁，则BB₁＝AE＝5(cm)，
所以B₁F＝8－5＝3(cm)．
因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG.

过H作HC₁⊥CG，垂足为C₁，
则GC₁＝FB₁＝3(cm)，
DH＝12－3＝9(cm)．   -----------------------------------    4分
(2)作ED₁⊥DH，垂足为D₁，B₁P⊥CG，垂足为P，连结D₁P，B₁C₁，则几何体被分割成一个长方体ABCD－EB₁PD₁，一个斜三棱柱EFB₁－HGC₁，一个直三棱柱EHD₁－B₁C₁P.从而几何体的体积为
V＝3×4×5＋×3×4×3＋×3×4×4＝102(cm³)．--------------8分
(3)是菱形．
证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.于是EFGH是平行四边形．
因为EF＝＝
＝5(cm)，
DD₁＝AE＝5(cm)，ED₁＝AD＝3(cm)，
HD₁＝4(cm)，
所以EH＝＝
＝5(cm)．
所以EF＝EH.
故EFGH是菱形．  ------------------------------------------12分

略