Question

(本小题满分12分)      已知函数f (x) = ax² + 2ln(1-x)，其中a∈R.

（1）是否存在实数a，使得f (x)在x =处取极值？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由；

（2）若f (x)在[-1,]上是减函数，求实数a的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)定义域为{x | x<1}，f ′(x) = 2ax   

假设存在实数a，使f (x)在x =处取极值，则

f ′() = a – 4 = 0， ∴a = 4           ------------------ 3分

此时，f ′(x) = 8x = 

当x <时，f ′(x) < 0；当<x<1时，f ′(x) < 0.

∴x =不是f (x)的极值点，

故不存在实数a，使f (x)在x =处极值         ------------- 6分

（2）解法一：依题意知：当x∈[-1,]时，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x)≤02ax – ≤0ax≤ 

①当x = 0时，不等式显然成立；

②当-1≤x<0时，a≥

∵-1≤x<0   ∴ x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≤   ∴a≥                    ------------- 9分

③当0<x≤时，a≤

∵x∈，∴x (1 – x) = – (x –)² + ∈

∴≥4   ∴a≤4

综上可知，≤a≤4为所求                 ---------------- 12分

解法二：依题意知：当x∈[-1,]时，f ′(x) ≤0恒成立，

f ′(x) ≤02ax – ≤0≥0ax² – ax + 1≥0

令g (x) = ax² – ax + 1 = a (x)² + 1, x∈ 

①  当a = 0时，g (x) = 1>0成立；

②当a>0时，g (x)在上递减，则

g (x)_min = g () = 1≥0   ∴0<a≤4         ------------ 9分

③当a<0时，g (x)在上递增，则

g (x)_min = g (-1) = 2a + 1≥0   ∴0>a≥ 

综上，≤a≤4为所求                -------------------- 12分

【命题分析】本题主要考查运用导数研究函数性质的方法，分类讨论的数学思想和分析推理能力.

【解析】略