Question

已知函数f(x)=x+

t

x

（x＞0）和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求证：x₁，x₂为关于x的方程x²+2tx-t=0的两根；
（2）设|MN|=g（t），求函数g（t）的表达式．

Answer 1

分析：（1）用导数值与切线的斜率相等，求出切点横坐标的关系，判断是方程x²+2tx-t=0的两根即可；
（2）求过切点的切线方程，找出两切点关系，再利用两点间的距离公式求解即可．

解答：（1）证明：求导函数，可得f′（x）=1-

t

x2

，切点（x，x+

t

x

），
所以，

x+ t x

x-1

=1-

t

x2

，可得x²+2tx-t=0，
显然方程的两个根就是切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的横坐标，
所以x₁，x₂是关于x的方程x²+2tx-t=0的两根；
（2）解：因为M、N两点的横坐标分别为x₁、x₂，
又f′（x）=1-

t

x2

，∴切线PM的方程为：y-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x12

）（x-x₁）．
又∵切线PM过点P（1，0），∴有0-（x₁+

t

x1

）=（1-

t

x12

）（1-x₁）．
即x₁²+2tx₁-t=0．（1）
同理，由切线PN也过点（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的两根
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=-t
∴|MN|=

20t2+20t

（t＞0）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．