Question

设椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且。

（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）设Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知

∵
∴
由，得
∴b²=3c²=a²-c²，
故椭圆的离心率。
（2）由（1）知，得
于是
△AQF₂的外接圆圆心为
半径
所以由已知，得
解得a=2，
∴c=1，
所求椭圆方程为：。
（3）由（2）知 F₂（1，0），l：y=k（x-1）（k≠0）
由得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
由直线l与椭圆C交于M，N两点，且过椭圆C的右焦点F₂，P，M，N不共线知必有Δ>0，故k≠0，且k∈R则，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）
（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
由于菱形对角线垂直，则
即k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，
则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，

∴
∴
故存在满足题意的点P，且m的取值范围是。