Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）解关于x的不等式：f（mx²）-2f（x）＞f（m²x）-2f（m）．（m＞0，且m为常数）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求出f（0）的值，然后令x+y=0，即y=-x可得f（-x）=-f（x），然后根据奇函数的定义进行判断即可；
（2）先根据单调性的定义证明函数的单调性，然后根据条件化简不等式得f（mx²+2m）＞f（m²x+2x），然后根据单调性建立不等式，解之即可．

解答：（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令x+y=0，即y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（2）解：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由已知得f（x₁-x₂）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）即f（x）在R上是增函数．
又2f（m）=f（m）+f（m）=f（2m）．
同理2f（x）=f（2x）
f（mx²）-2f（x）＞f（m²x）-2f（m）
?f（mx²）+f（2m）＞f（m²x）+f（2x）
?f（mx²+2m）＞f（m²x+2x）
?mx²+2m＞m²x+2x
?mx²-（m²+2）x+2m＞0
∵m＞0，∴x2-(m+

2

m

)x+2＞0
∴(x-

2

m

)(x-m)＞0
当

2

m

＜m，即m＞

2

时，不等式的解集为{x|x＜

2

m

或x＞m}；
当

2

m

＞m，即0＜m＜

2

时，不等式的解集为{x|x＜m或x＞

2

m

}．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数单调性的证明和不等式的解法，同时考查了的等价转化的思想，属于中档题．