Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=2ax+

1

x2

（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞-1，试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f（x）有最大值-6．

Answer 1

分析：（1）∵f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，
∴可以利用f（-x）=-f（x）求当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）f（x）在（0，1）上的单调性，可以用判断在（0，1）上f'（x）与0的关系来确定．
（3）对a的取值对f'（x）与0的关系进行分类讨论，根据f（x）在（0，1）上的单调性和f（x）有最大值-6，构造方程进行求解．

解答：（1）解：设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），f（-x）=-2ax+

1

x2

，
∵f（x）是奇函数．∴f（x）=2ax-

1

x2

，x∈（0，1]．

（2）证明：∵f′（x）=2a+

2

x3

=2(a+

1

x3

)，
∵a＞-1，x∈（0，1]，

1

x3

＞1，
∴a+

1

x3

＞0．即f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，1]上是单调递增函数．

（3）解：当a＞-1时，f（x）在（0，1]上单调递增．
f（x）_max=f（1）=-6，?a=-

5

2

（不合题意，舍之），
当a≤-1时，f′（x）=0，x=

3	- 1 a

．
如下表：f_max（x）=f（

3	- 1 a

）=-6，解出a=-2

2

． x=

2

2

∈（0，1）．

∴存在a=-2

2

，使f（x）在（0，1）上有最大值-6．

点评：（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义  （ 基本步骤为取 点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．