Question

【题目】已知函数

（1）当时，证明函数在区间上有三个极值点；

（2）若对于恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）求导，令，用导数法得到其单调性，再结合零点存在定理得到在区间有三个零点，然后用极值点的定义求解.

（2）求导，令，则，由（1）知，再分和两种情况讨论求解.

（1）当时，，

则.

令，

当时，，当时，，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.

又，故在区间及区间内各有唯一零点.

由此可知，在区间有三个零点：，

当时，，当时，，当时，，当时，，

从而知在上有三个极值点.

（2），

令，

则，由（1）的证明过程知.

当时，即时，有时，；时，有，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，从而知时，恒有.

当时，.但，

由在上单调递减，故在上有唯一零点，

从而知在上有唯一零点，且当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，故，

矛盾，舍去.

综上，所求a的取值范围是.