Question

15．已知点P为Rt△ABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，M为斜边AB的中点．
（1）求证：PM⊥平面ABC；
（2）当CA=CB时，求证：CM⊥面PAB．

Answer 1

分析 （1）过AC取中点记作Q，连接PM，PQ，MQ，可证MQ⊥AC，PQ⊥AC，可证AC⊥面PMQ，即可得AC⊥MP，又可证MP⊥AB，即可证明MP⊥面ABC．
（2）由（1）可得PM⊥CM，由CA=CB，M为斜边AB的中点．可证CM⊥AB，即可证明CM⊥面PAB．

解答 证明：（1）过AC取中点记作Q，
连接PM，PQ，MQ，
因为MQ∥BC（中位线），
所以MQ⊥AC，
PQ⊥AC（等腰三角形的中线即高线），
所以AC⊥面PMQ，
所以AC⊥MP，
因为MP⊥AB（等腰三角形的中线即高线），
所以MP⊥面ABC．
（2）由（1）可得PM⊥CM，
因为CA=CB，M为斜边AB的中点．
所以CM⊥AB，
又因为PM∩CM=M，
所以CM⊥面PAB．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．