Question

20．设y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1．
（1）求f（1），f（$\frac{1}{9}$），f（9）的值；
（2）若f（x）-f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法即可求f（1），f（$\frac{1}{9}$），f（9）的值；
（2）结合函数单调性以及抽象函数的关系将不等式进行转化即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，
令x=y=$\frac{1}{3}$，则f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$），
即f（$\frac{1}{9}$）=2f（$\frac{1}{3}$）=2，
令x=$\frac{1}{9}$，y=9得f（$\frac{1}{9}$×9）=f（$\frac{1}{9}$）+f（9），
即f（1）=f（$\frac{1}{9}$）+f（9），
则f（9）=f（1）-f（$\frac{1}{9}$）=0-2=-2．
（2）若f（x）-f（2-x）＜2，则f（x）＜f（2-x）+f（$\frac{1}{9}$），
即f（x）＜f（$\frac{1}{9}$（2-x）），
∵y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x＞\frac{1}{9}（2-x）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{x＞\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{5}$＜x＜2，
解得$\frac{1}{5}$＜x＜2，
即不等式的解集为（$\frac{1}{5}$，2）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合考查函数的性质是应用．