Question

12．求下列双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率与渐近线方程，并用“描点法”画出图形．
（1）9x²-y²=81；
（2）$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 双曲线方程化为标准方程，确定几何量，即可求出双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率与渐近线方程．

解答 解：（1）9x²-y²=81可化为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{81}$=1，∴a=3，b=9，c=3$\sqrt{10}$，
∴实轴长为6，虚轴长18，焦点坐标（±3$\sqrt{10}$，0），顶点坐标（±3，0），离心率$\sqrt{10}$，渐近线方程y=±3x；
如图所示

（2）$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，a=$\sqrt{2}$，b=2，c=$\sqrt{6}$，
∴实轴长为2$\sqrt{2}$，虚轴长4，焦点坐标（0，±$\sqrt{6}$），顶点坐标（0，±$\sqrt{2}$），离心率$\sqrt{3}$，渐近线方程y=±$\sqrt{2}$x．如图所示

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的作图能力，属于中档题．