Question

10．设函数f（x）=ax+$\frac{1-x}{ax}$（a＞0）．
 求：利用函数单调性的定义，判断函数f（x）在 （0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 先化简f（x）=ax+$\frac{1}{ax}$$-\frac{1}{a}$，根据单调性的定义判断f（x）在（0，+∞）上的单调性：设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式x₁-x₂，从而得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$，这样便可看出${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$，和${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，可以判断f（x₁）与f（x₂）的关系，从而判断出f（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答 解：$f（x）=ax+\frac{1}{ax}-\frac{1}{a}$，设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=a{x}_{1}+\frac{1}{a{x}_{1}}-a{x}_{2}-\frac{1}{a{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞0，a＞0；
∴x₁-x₂＞0；
∴①${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{1}{a}）$时，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减；
②${x}_{1}，{x}_{2}∈（\frac{1}{a}，+∞）$时，$a-\frac{1}{a{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．

点评 考查函数单调性的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂）的大小，作差之后，是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．