Question

19．下列说法正确的有①⑤．
①函数y=x²-2|x|+1的递减的区间是（-∞，-1]和[0，1]；
②函数y=$\frac{3-5x}{4x+1}$的值域是（-∞，$\frac{3}{4}$）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）；
③函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$+$\sqrt{x-1}$的定义域是{x|x≥1，且x≠2}；
④若函数f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$为奇函数，则a=1；
⑤已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x）（x∈R），且f（x）在（2，+∞）上是减函数，则f（-$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 画出函数图象，数形结合得到函数的单调区间，可判断①；求出函数的值域，可判断②；求出函数的定义域，可判断③；根据奇函数的性质，求出a值，可判断④；结合函数的对称性和单调性，比较三个函数的大小，可判断⑤．

解答 解：函数y=x²-2|x|+1的图象如下图所示：

由图可得：函数y=x²-2|x|+1的递减的区间是（-∞，-1]和[0，1]，故①正确；
$\frac{3-5x}{4x+1}$=-$\frac{5}{4}$+$\frac{\frac{17}{4}}{4x+1}$≠-$\frac{5}{4}$，
故函数y=$\frac{3-5x}{4x+1}$的值域是（-∞，-$\frac{5}{4}$）∪（-$\frac{5}{4}$，+∞），故②错误；
根据$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-3x+2≠0\\ x-1≥0\end{array}\right.$得：x＞1，且x≠2，
故函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-3x+2}$+$\sqrt{x-1}$的定义域是{x|x＞1，且x≠2}，故③错误；
若函数f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$为奇函数，f（-x）=$\frac{（-x+1）（-x+a）}{-x}$=-f（x），解得a=-1，故④错误；
二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），则函数图象关于直线x=2对称，
f（-$\sqrt{2}$）=f（4+$\sqrt{2}$），f（$\sqrt{3}$）=f（4-$\sqrt{3}$），
若f（x）在（2，+∞）上是减函数，
则f（4+$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（4-$\sqrt{3}$）
∴f（-$\sqrt{2}$）＜f（5）＜f（$\sqrt{3}$），故⑤正确；
故说法正确的有：①⑤，
故答案为：①⑤

点评 本题以命题的真假判断和应用为载体，考查了函数的单调性，定义域，值域，奇偶性，对称性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．