Question

5．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x²+3x+1的解集为（-∞，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）-（x²+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可

解答 解：∵f′（x）＜2x+1，
∴f′（x）-（2x+1）＜0，
即[f（x）-（x²+x）]′＜0
设g（x）=f（x）-（x²+x）
则g（x）在R上为减函数，
∵f（1）=3，
∴g（1）=f（1）-（1²+1）=3-2=1
∵f（3x）≥9x²+3x+1=（3x）²+3x+1，
∴f（3x）-[（3x）²+3x]≥1，
∴g（3x）≥1=g（1）
∴3x≤1，
解得x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{3}$]
故答案：（-∞，$\frac{1}{3}$]

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．