Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁。

（I）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（II）求CC₁到平面A₁AB的距离；
（III）求二面角A-A₁B-C的大小。

Answer 1

（1）证明：因为A1D⊥平面ABC， 所以，平面AA1C1C⊥平面ABC， 又BC⊥AC， 所以，BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1， 又BA1⊥AC1， 所以，AC1⊥平面A1BC。
（2）解：因为AC1⊥A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1=AC=2， 又D为AC中点，知∠A1AC=60°， 取AA1的中点F，则AA1⊥平面BCF， 从而，平面A1AB⊥平面BCF， 过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A1AB， 在Rt△BCF，BC=2，CF=，故， 即CC1到平面A1AB的距离为。 （3）过H作HG⊥A1B于G，连CG，则CG⊥A1B， 从而∠CGH为二面角A-A1B-C的平面角， 在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=， 在Rt△CGH中，， 故二面角A-A1B-C的大小为。