Question

已知函数f（x）=lnx+，g（x）=，a是常数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）有极大值，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-=
设h（x）=x²-（2a+1）x+a²，其判别式△=4a+1，
①当a≤-时，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数；
当△＞0时，由h（x）=x²-（2a+1）x+a²=0解得：x₁=，x₂=（每个根1分）
②当-＜a＜0时，△＞0，2a+1＞0；此时，x₂＞x₁＞0，即h（x）在定义域（0，+∞）上有两个零点x₁=，x₂=
在区间（0，x₁）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）为（0，x₁）上的增函数
在区间（x₁，x₂）上，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）为（x₁，x₂）上的增函数
在区间（x₂，+∞）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）为（x₂，+∞）上的增函数．
③当a=0时，x₁=0，x₂=1，在区间（0，1）上，h（x）＜0，f′（x）＜0；在区间（1，+∞）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，…（7分）
④当a＞0时，函数f（X）的定义域是（0，a）∪（a，+∞），
∵h（a）=-a＜0，h（x）在（0，a）上有零点x₁，在（a，+∞）上有零点x₂；
在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上为增函数；
在区间（x₁，a）和（a，x₂）上，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，a）和（a，x₂）上为减函数．
综上：当a≤-时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当-＜a＜0时，f（x）的递增区间是（0，x₁）和（x₂，+∞），递减区间是（x₁，x₂）；当a=0时，f（x）的递减区间是（0，1）；递增区间是（1，+∞）；当a＞0时，f（x）的递减区间（x₁，a）和（a，x₂），递增区间是（0，x₁）和（x₂，+∞）．
（2）当a≤0时，g（x）的定义域是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的定义域是（0，a）∪（a，+∞），
g′（x）=，令t（x）=x（1-lnx），则t′（x）=-lnx（每个导数1分）
在区间（0，1）上，t′（x）=-lnx＞0，t（x）=x（1-lnx）是增函数且0＜t（x）＜1；
在区间（1，+∞）上，t′（x）=-lnx＜0，t（x）=x（1-lnx）是减函数且t（x）＜1；
当x=1时，t（1）=1．
故当a≥1时，g′（x）≤0，g（x）无极大值；
当0＜a＜1时，t（a）-a≠0，方程t（x）=a在区间（0，1）和（1，+∞）上分别有一解x′，x″，
此时函数g（x）在x=x″处取得极大值；
当a≤0时，方程t（x）=a在区间[e，+∞）上有一解x•，此时函数g（x）在x=x•处取得极大值．
综上所述，若g（x）有极大值，则a的取值范围是（-∞，1）．
分析：（1）对函数f（x）求导，当导数f'（x）大于0时可求单调增区间，当导数f'（x）小于0时可求单调减区间．
（2）先对a分情况求出g（x）的定义域，再在区间（0，1）和区间（1，+∞）上研究函数的单调性，进而研究极值的存在性，即可求出a的范围．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题，考查利用导数研究函数的极值问题，有一定的综合性．