将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 -- 记表中的第一列数a1.a2.a4.a7.-构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n项和.且满足=1. (Ⅰ)证明数列{}成等差数列.并求数列{bn}的通项公式, (Ⅱ)上表中.若从第三行起.每一行中的数按从左到右的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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将数列｛a_n｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a₁

a₂a₃

a₄a₅ a₆

a₇ a₈ a₉a₁₀

_……

记表中的第一列数a₁_，a₂_，a₄_，a₇_，…构成的数列为｛b_n｝,b₁=a₁=1. S_n为数列｛b_n｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.

(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛b_n｝的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

【答案】

(Ⅰ)证明：由已知，

（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0.

因为　　　

　所以表中第1行至第12行共含有数列｛a_n｝的前78项，

　故 a₈₁在表中第13行第三列，

　因此

　又　　

　所以 q=2.

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

　则（k≥3）.

【解析】略

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一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是-x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a_n，则数列{a_n}的前n项和S_n=

；若x=1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T_n，则T₄=

．

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已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

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如图，将等比数列{a_n}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{a_n}的前2013项和S₂₀₁₃=4026，则满足n an＞ann的n的值为（　　）

A．2

B．3

C．2013

D．4026

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根据如图所示的流程图，将输出的a的值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈，将输出的b的值依次分别记为b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}通项公式；
（Ⅱ）依次在a_k与a_k+1中插入b_k+1个3，就能得到一个新数列{c_n}，则a₄是数列{c_n}中的第几项？
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为S_n，问是否存在这样的正整数m，使数列{c_n}的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

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（2012•湖南模拟）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}．可以推测：
（Ⅰ）b₃是数列{a_n}中的第

项；
（Ⅱ）b_2k=

5k(5k+1)

（用k表示）

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