【题目】设集合A={1,2,…,2016}.对于A的任一个1008元子集X,若存在x、y∈X,满足x<y,x|y,则称X为“好集”.求最大的正整数a(a∈A),使得任一个含a的1008元子集皆为好集。
【答案】671
【解析】
因为任何正整数n可以表为(a∈N,t为正奇数)的形式,所以,集合A可划分为以下1008个子集:
,
其中,j=1,2,…,1008.对于集合A的任一个1008元子集X,只要集合X中含有某一个子集A中的至少两个元素,则
.此时,X为好集.
下面证明:正整数a的最大值为671.
当a=671时,对于集合A的任一个1008元子集X,若集合X中含有某个子集中的至少两个元素,则X为好集;如果
中的1008个集合,每个集合中恰有一个元素在集合X中,那么,
也有一个元素在集合X中,但
为单元素集,于是,2013∈X.而a|2013(2013=671×3=3a),这表明,X仍为好集.因此,a=671符合要求.
当a≥672时,存在含a的集合X为好集.分两种情形.
(1)若a≥1009,取1008元集,则
因为中任两个不同元素x<y,均有
,所以,
不为好集,这种
不符合要求.
(2)若672≤a≤1008,记,
令.则
,且
.
若集合X中存在x<y,使得x|y,且,则
.
当,如果
,那么,只有
或3x.
此时,y的取值只能是或
.
注意到,1344=2(672+0),2016=2(672+336).
这表明,两个数已被挖去,不在集合X中当x>672,假若x|y,只有y=2x,这种数y也已被挖去,即
因此,X不为好集,这种a也不符合要求.
综上,a的最大值为671.
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【题目】有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有__________.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆
的极坐标方程为
,其左焦点
在直线
上.
(1)若直线与椭圆
交于
两点,求
的值;
(2)求椭圆的内接矩形面积的最大值.
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【题目】(2017·江苏高考)如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
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【题目】在的方格表中,每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一,若每个
的子方格表包含每种颜色的格均为一,称此染法为“均衡”的.则所有不同的均衡的染法有__________种.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别是
、
,离心率
,过点
的直线交椭圆
于
、
两点,
的周长为16.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为原点,圆
:
(
)与椭圆
交于
、
两点,点
为椭圆
上一动点,若直线
、
与
轴分别交于
、
两点,求证:
为定值.
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【题目】函数在区间
上的图像如图所示,将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半(纵坐标不变),再向右平移
个单位长度后,所得到的图像关于直线
对称,则
的最小值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费10元;重量超过
的包裹,除
收费10元之外,超过
的部分,每超出
(不足
时按
计算)需再收5元.公司从承揽过的包裹中,随机抽取100件,其重量统计如下:
包裹重量(单位: | |||||
包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
公司又随机抽取了60天的揽件数,得到频数分布表如下:
揽件数 | |||||
天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
(1)计算该公司3天中恰有2天揽件数在的概率;
(2)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(3)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用做其他费用,目前前台有工作人员3人,每人每天揽件不超过150件,每人每天工资100元,公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润有利?
(注:同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表)
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【题目】如图,已知,
两个城镇相距20公里,设
是
中点,在
的中垂线上有一高铁站
,
的距离为10公里.为方便居民出行,在线段
上任取一点
(点
与
,
不重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到
处,再铺设快速路分别到
,
两处.因地质条件等各种因素,其中快速路
造价为3百万元/公里,快速路
造价为2百万元/公里,快速路
造价为4百万元/公里, 设
,总造价为
(单位:百万元).
(1)求关于
的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时
的值.
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