Question

【题目】设集合A={1,2,…,2016}.对于A的任一个1008元子集X,若存在x、y∈X,满足x<y,x|y,则称X为“好集”.求最大的正整数a(a∈A),使得任一个含a的1008元子集皆为好集。

Answer 1

【答案】671

【解析】

因为任何正整数n可以表为(a∈N,t为正奇数)的形式,所以,集合A可划分为以下1008个子集:

,

其中,j=1,2,…,1008.对于集合A的任一个1008元子集X,只要集合X中含有某一个子集A中的至少两个元素,则.此时,X为好集.

下面证明:正整数a的最大值为671.

当a=671时,对于集合A的任一个1008元子集X,若集合X中含有某个子集中的至少两个元素,则X为好集;如果中的1008个集合,每个集合中恰有一个元素在集合X中,那么, 也有一个元素在集合X中,但为单元素集,于是,2013∈X.而a|2013(2013=671×3=3a),这表明,X仍为好集.因此,a=671符合要求.

当a≥672时,存在含a的集合X为好集.分两种情形.

(1)若a≥1009,取1008元集,则

因为中任两个不同元素x<y,均有,所以, 不为好集,这种不符合要求.

(2)若672≤a≤1008,记,

令.则,且.

若集合X中存在x<y,使得x|y,且,则.

当,如果,那么,只有或3x.

此时,y的取值只能是或.

注意到,1344=2(672+0),2016=2(672+336).

这表明,两个数已被挖去,不在集合X中当x>672,假若x|y,只有y=2x,这种数y也已被挖去,即

因此,X不为好集,这种a也不符合要求.

综上,a的最大值为671.