Question

已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=

2

，则三棱锥A-BCD的体积为

1

3

．

Answer 1

分析：取CD中点E，连接AE、BE，可证出△ACD、△BCD都是等边三角形，并且CD⊥平面ABE，由此将三棱锥A-BCD的体积分为三棱锥C-ABE与三棱锥D-ABE的体积之和，结合题中数据算出△ABE中的面积，用锥体体积公式即可求出三棱锥A-BCD的体积．

解答：解：∵AB是球的直径，D、C两点在球面上
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD=

2

∴AC=AD=

2

=CD
取CD中点E，连接AE、BE
∵等边△ACD中，AE⊥CD，等边△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE=

3

2

×

2

=

6

2

，AB=2
∴△ABE中的面积S=

2

2

由此可得三棱锥A-BCD的体积V=V_C-ABE+V_D-ABE=

1

3

S_△ABE•CE+

1

3

S_△ABE•DE=

1

3

S_△ABE•CD=

1

3

×

2

2

×

2

=

1

3

故答案为：

1

3

点评：本题给出特殊的球内接三棱锥，求它的体积，着重考查了球内接多面体、线面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于基础题．