Question

已知球的直径AB=2，C、D是该球球面上的两点，且BC=CD=DB=，则三棱锥A-BCD的体积为________．

Answer 1

分析：取CD中点E，连接AE、BE，可证出△ACD、△BCD都是等边三角形，并且CD⊥平面ABE，由此将三棱锥A-BCD的体积分为三棱锥C-ABE与三棱锥D-ABE的体积之和，结合题中数据算出△ABE中的面积，用锥体体积公式即可求出三棱锥A-BCD的体积．
解答：∵AB是球的直径，D、C两点在球面上
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD=
∴AC=AD==CD
取CD中点E，连接AE、BE
∵等边△ACD中，AE⊥CD，等边△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE=×=，AB=2
∴△ABE中的面积S=
由此可得三棱锥A-BCD的体积V=V_C-ABE+V_D-ABE=S_△ABE•CE+S_△ABE•DE=S_△ABE•CD=××=
故答案为：
点评：本题给出特殊的球内接三棱锥，求它的体积，着重考查了球内接多面体、线面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于基础题．