Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．
（I）若b=a-1，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若-1≤a≤1，-1≤b≤1，求方程f'（x）=0有实数根的概率．

Answer 1

分析：（I）求导数，令导数小于零，解此不等式即可求得函数y=f（x）的单调递减区间．
（II）此小题是一个几何概率模型，如设方程f'（x）=0有实根为事件B．先求出区域D={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}的面积，再求出方程有实根对应区域为d与区域D的公共部分的面积，再有公式P(B)=

Sd

SD

求出概率．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx，b=a-1得：
f'（x）=x²+ax+b=x²+ax+a-1=（x+1）（x+a-1）…（2分）
令f'（x）=0得x₁=-1；x₂=1-a…（3分）
①若-1＜1-a，即a＜2时，令 f'（x）＜0解得-1＜x＜1-a
此时函数f（x）的减区间是（-1，1-a）…（5分）
②若-1＞1-a，即a＞2时，令 f'（x）＜0解得1-a＜x＜-1，此时函数f（x）的减区间是（1-a，-1）…（7分）
③若-1=1-a，即a=2时，f'（x）=（x+1）²≥0，函数f（x）在R上单调递增，没有减区间…（8分）
（II）方程f'（x）=0，即x²+ax+b=0有实数根，则△≥0，即a²≥4b，…（10分）
若-1≤a≤1，-1≤b≤1，
方程f'（x）=0有实数根的条件是

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

（※）…（11分）
满足不等式组的区域如图所示，条件（※）对应的图形区域的面积为：
S1=

∫

-1 1

[

a2

4

-(-1)]da=

∫

-1 1

(

a2

4

+1)da=(

a3

12

+a)

|

1 -1

=

13

6

…（13分）
而条件-1≤a≤1，-1≤b≤1的对应的面积为S=4，
所以，方程f'（x）=0有实数根的概率为P=

S1

S

=

13

24

…（14分）

点评：此题是个基础题．考查学生利用导数研究函数的单调性、等可能事件的概率，考查计算能力和数形结合思想．