Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，
（1）求证：AC⊥平面D₁DB；
（2）BD₁∥平面ABC．

Answer 1

分析：（I）正方形ABCD中，可得BD⊥AC，由D₁D⊥平面ABCD证出D₁D⊥AC，再利用线面垂直的判定定理，即可证出AC⊥平面D₁DB．
（II）设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE，可得OE是△D₁DB的中位线，得OE∥BD₁．利用线面平行的判定定理即可证出BD₁∥平面AEC．

解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又∵D₁D⊥平面ABCD，AC?面ABCD，
∴D₁D⊥AC，
∵BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面D₁DB．
（Ⅱ）设O为底面ABCD的对角线的交点，连结OE
∵O、E分别是BD、DD₁的中点，
∴OE是△D₁DB的中位线，
∴OE∥BD₁．
∵BD₁?平面AEC，DE?平面AEC，
∴BD₁∥平面AEC．

点评：本题在正方体中证明线面垂直和线面平行，着重考查了正方体的性质和空间线面垂直、平行位置关系的判定与证明等知识，属于中档题．