Question

若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=

1

PO2

，N=

1

PA2

+

1

PB2

+

1

PC2

，那么M、N的大小关系是

 

．

Answer 1

分析：由题意Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，由等面积法得ch=ab，c²•h²=a²•b²，然后再利用等体积法进行比较．

解答：解：在Rt△ABC中，c²=a²+b²①，由等面积法得ch=ab，
∴c²•h²=a²•b²②，①÷②整理得

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

．
类比得，S_△ABC²=S_△PAB²+S_△PBC²+S_△PAC²①，
由等体积法得S△ABC•PO=

1

2

PA•PB•PC，
∴

S

2 △ABC

•PO2=

1

4

PA2•PB2•PC2②，
①÷②整理得M=N．
故答案为：M=N．

点评：此题考查直角三角形的性质及等面积法和等体积法的应用，是一道基础题．